Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Фундаментальна матриця системи n однорідних звичайних диференціальних рівнянь
x
˙
(
t
)
=
A
(
t
)
x
(
t
)
{\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=A(t)\mathbf {x} (t)}
це матрична функція
Ψ
(
t
)
{\displaystyle \Psi (t)}
лінійно незалежними розв'язками системи.
Тоді загальний розв'язок системи можна записати як
x
=
Ψ
(
t
)
c
{\displaystyle \mathbf {x} =\Psi (t)\mathbf {c} }
c
{\displaystyle \mathbf {c} }
Матрична функція
Ψ
{\displaystyle \Psi }
x
˙
(
t
)
=
A
(
t
)
x
(
t
)
{\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=A(t)\mathbf {x} (t)}
Ψ
˙
(
t
)
=
A
(
t
)
Ψ
(
t
)
{\displaystyle {\dot {\Psi }}(t)=A(t)\Psi (t)}
Ψ
{\displaystyle \Psi }
несингулярна для всіх
t
{\displaystyle t}
[ 1] Унікальна матриця
Ψ
t
0
(
t
)
~
{\displaystyle {\tilde {\Psi _{t_{0}}(t)}}}
Ψ
~
t
0
′
=
A
Ψ
~
t
0
,
Ψ
~
t
0
′
(
t
0
)
=
I
{\displaystyle {\tilde {\Psi }}_{t_{0}}^{'}=A{\tilde {\Psi }}_{t_{0}},\ \ {\tilde {\Psi }}_{t_{0}}^{'}(t_{0})=\mathrm {I} }
називається нормалізована фундаментальна матриця в
t
0
{\displaystyle t_{0}}
A
.
{\displaystyle A.}
Оскільки змінна
t
{\displaystyle t}
t
0
=
0
,
{\displaystyle t_{0}=0,}
задача Коші із заданими в нульовий час умовами. Так якщо
x
(
0
)
=
x
0
,
{\displaystyle \mathbf {x} (0)=\mathbf {x} _{0},}
Ψ
~
0
x
0
.
{\displaystyle {\tilde {\Psi }}_{0}\mathbf {x} _{0}.}
Обчислити матрицю можна так
Ψ
~
t
0
(
t
)
=
Ψ
(
t
)
Ψ
(
t
0
)
−
1
.
{\displaystyle {\tilde {\Psi }}_{t_{0}}(t)=\Psi (t)\ \Psi (t_{0})^{-1}.}
↑ Chi-Tsong Chen. 1998. Linear System Theory and Design (3rd ed.). Oxford University Press, Inc., New York, NY, USA.
